Свежие комментарии

  • Алексей Рэдс
    Недостаточно понятно написано...Квадрат Пифагора:...
  • ДМИТРИЙ
    Таких тупых американских полицейских надо выгонять из полиции. Элементарное задержание провести не могут.Минус четыре поли...
  • Людмила Трегубенко
    Мясо кита я ела, не понравилось совсем, никакоеШокирующие блюда ...

Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

Приветствую Вас, уважаемые Читатели. На своем блоге я много рассказывал про различные числа: натуральные и целые, рациональные и действительные, комплексные и алгебраические. Все эти числа рано или поздно встречались Вам по жизни. Однако есть и такие числа, например числа Гёделя, которые мало кто использует, кроме ученых, которые исследуют метаматематику – «наднауку», призванную охарактеризовать эту область знаний с метафизических и методологических сторон.

Тем не менее, понимание чисел Гёделя доступно каждому, кто знаком с элементарной арифметикой (таких, я думаю большинство), а некоторые выводы из теории их построения могут немного шокировать обывателя, в той же степени, в которой они стали «дамокловым мечом» для математиков в середине 20 века.

Числа Гёделя

Чтобы к ним подобраться во всеоружии, необходимо вспомнить основную теорему арифметики (я о неё писал подробно в одном из материалов). Из теорему следует, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, причем единственным образом например:

  • 16 = 2*8=2*2*2*2
  • 34= 17*2
  • 98=49*2=7*7*2 и т.д.

Что это даёт нам?

Это даёт нам возможность арифметизации любых математических формул, высказываний, доказательств путем сопоставления каждому из них одного единственного порядкового номера, называемого номером Гёделя.

Рассмотрим подробнее как это сделать.

Язык математики состоит из различных знаков операция (умножения, сложения и т.д.), знаков равенства, скобок, переменных и т.д. Курт Гёдель сначала определил минимальный набор таких знаков, вот он:

Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

После этого каждой буквенной переменной (например, х,y,z… и т.д.) можно сопоставить следующие простые числа – 13,17, 19 и т.д. Рассмотрим, например, высказывание

2 * 2 = 4

Как его формализовать? Необходимо под каждым символом написать соответствующие ему Гёделевы номера:

Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

Ориентируйтесь на первую таблицу

Во второй строке у нас кроме порядковых чисел появились выражения вида ss0 и ssss0 – они означают второй символ и четвертый символ после нуля (2 и 4 соответственно). Их тоже нужно декомпозировать:

Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

Всё понятно? Таким образом, мы получили некоторое числовое сопоставление нашему высказыванию:

2*2= 4 сопоставлено 776 12 776 5 77776

Но хотелось бы это сопоставление ужать, с чем нам успешно поможет справиться основная теорема арифметики. Взяв простые числа 2,3,5… и возведя их в соответствующие степени мы получим натуральное число единственно соответствующее исходному высказыванию. Вот оно:

Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

Вот именно это и только это число (хоть оно и невероятно большое) соответствует высказыванию 2*2=4. Верно и обратно, например, рассмотрим какое высказывание определяет число 995328 ? Для этого разложим его на простые множители:

Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

Восстанавливая по первой таблице, получим высказывание 0 = 0. Вот так!

Таким образом, мы определили, что каждое математическое высказывание можно единственным образом представить в виде натурального числа.

Именно это утверждения стало основой для доказательства теорем Геделя о неполноте, буквально поставивших на колени всех тех, кто пытался создать математическую теорию всего. Гедель показал, что такой теории не может быть в принципе. что каждая аксиоматическая теория в любом случае противоречива, что в рамках любой теории есть высказывания, недоказуемые в ней. Как?

Источник

Ссылка на первоисточник

Картина дня

наверх